LOGICA
LOGICA
¿De qué trata la logica?
Las personas constantemente tomamos decisiones acerca de lo que creemos que es verdadero en distintos aspectos de nuestras vidas. Aunque todo el mundo está de acuerdo en preferir creer lo que es verdad, con frecuencia discrepamos sobre lo que es verdadero en casos particulares.
Si bien muchas de nuestras convicciones fundamentales sobre el mundo que nos rodea las adquirimos de cualquier manera en lugar de mediante el uso de la razón, todos reconocemos que nuestras creencias sobre el mundo y los hechos que acaecen en el mismo mundo están de algún modo ligadas .
Por ejemplo, si yo creo que todos los perros son mamíferos y que todos los mamíferos son seres racionales, entonces tendría sentido para mí suponer que todos los perros son seres racionales. En este caso, incluso quien (acertadamente) discrepara con mi comprensión de las clasificaciones biológicas podría apreciar la forma consistente y razonable en que he utilizado mis creencias erróneas como base sobre la que establecer nuevas creencias. Por otra parte, si llego a la conclusión de que Alonso Quijano es español porque creo que Alonso Quijano es un personaje de José Zorrilla, y que algunos españoles son personajes de José Zorrilla, entonces incluso alguien que esté de acuerdo con mi conclusión me reporchará (de nuevo acertadamente) no haber dado buenas razones para apoyarla.
En conclusión, podemos estar de acuerdo con el camino que sigue un razonamiento aunque discrepemos de sus puntos de partida y de llegada. Es decir, es posible distinguir los razonamientos válidos de los invalidos independientemente de que estemos o no de acuerdo con el contenido que expresen dichos razonamientos. Dicho de forma muy simple, la lógica es la disciplina que estudia esta distinción determinando las condiciones bajo las cuales la verdad de ciertas creencias conduce con certeza a la verdad de alguna otra creencia. La lógica estudia, pues, los principios de los razonamientos correctos.
Tablas de Verdad
Conectivos Lógicos y Jerarquías:
Como se mecionó en la sección anterior para formar expresiones compuestas necesitamos conectivos lógicos, empezaremos por un conectivo unitario; esto es, se aplica a una proposición sola.
La Negación:
La operación unitaria de negación, no es cierto que se representa por “¬” y tiene la siguiente tabla de verdad de verdad
| p | ¬p |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
Ejemplo.
Encuentre la negación de las expresiones siguientes:
i) Júpiter es un planeta
ii) El pizarrón es verde
iii) El número real x es negativo
iv) Algún elefante es de color rosa
v) Ningún pez respira fuera del agua
vi) Todos los leones son feroces
Solución:
i) Júpiter no es un planeta
ii) El pizarrón no es verde
iii) El número real x no es negativo o también El número real x es positivo ó cero
iv) Ningún elefante es de color rosa
v) Algún pez respira fuera del agua
vi) Algún león no es feroz
Nota: Las tres últimas proposiciones se derivan de proposiciones abiertas que veremos en la sección 1.4 . del 10 al 16.
La conjunción de las proposiciones p, q es la operación binaria que tiene por resultado p y q, se representa por p^q, y su tabla de verdad es:
| p | q | p^q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
La conjunción nos sirve para indicar que se cumplen dos condiciones simultáneamente, así por ejemplo si tenemos:
La función es creciente y está definida para los números positivos, utilizamos
p ^ q, donde:
p: la función es creciente
q: la función esta definida para los números positivos
Así también: p ^ q, donde :
p: el número es divisible por 3
q: el número está representado en base 2
se lee: El número es divisible entre 3 y está representado en base 2.
Nota: Observamos que para la conjunción p ^ q sea verdadera las dos expresiones que intervienen deben ser verdaderas y sólo en ese caso como se indica por su tabla de verdad.
La disyunción de dos proposiciones p, q es la operación binaria que da por resultado p ó q, notación p v q, y tiene la siguiente tabla:
| p | q | p v q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Con la disyunción a diferencia de la conjunción, representamos dos expresiones y que afirman que una de las dos es verdadera, por lo que basta con que una de ellas sea verdaera para que la expresión p ∨ q sea verdadera.
Así por ejemplo la expresión: el libro se le entregará a Juan o el libro se le entregará a Luis significa que si va uno de los dos, el libro se le entrega, si van los dos también se entrega y solamente en caso de que no vaya ninguno de los dos no se debe entregar.
Aquí debemos tener cuidado, porque en español muchas veces utilizamos la disyunción para representar otros operadores que aparentemente son lo mismo, pero que tienen diferente significado.
En español tenemos tres casos de disyunción:
La llamada y/o bancaria, lógica o matemática, que es la misma y se utliza en computación como el operador OR, este operadorcorresponde al mencionado anteriormente p v q y ya se mostró su tabla de verdad.
La o excluyente, que algunos también le llaman o exclusiva, y que indica que una de las dos proposiciones se cumple, pero no las dos. Este caso corresponde por ejemplo a: Hoy compraré un libro o iré al cine; se sobrentiende que una de las dos debe ser verdadera, pero no la dos. Se representa por p XOR q y su tabla de verdad es:
| p | q | p XOR q |
|---|---|---|
| V | V | F |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Por último, también es muy común utilizar una disyunción como la siguiente: El menú incluye café o té. En este caso se esta dando una disyuntiva diferente pues no se pueden las dos simultáneamente como en el caso anterior, pero aquí si es válido el caso donde las dos son falsas. Es el caso “no ámbas”, se puede representar por p § q y su tablas es:
| p | q | p § q |
|---|---|---|
| V | V | F |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | V |
Nota: El último símbolo no es estándar y puede haber varias formas de representarlo.
Un buen ejercicio consiste en enunciar varias expresiones del español que utilizando los conectivos y o para analizar cuál de los operadores.
Hay que tener mucho cuidado cuando se traduce del lenguaje usual por las costumbres, muchas veces depende del contexto o de la situación específica en la que se usan los conectivos, por ejemplo si decimos: Se pueden estacionar alumnos y maestros, en realidad se está queriendo decir un operador disyuntivo, en este caso la o matemática, o sea el primer operador que corresponde a la primera tabla de esta sección.
La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q, y su tabla de verdad está dada por:
| p | q | p→q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Con respecto a este operador binario, lo primero que hay que destacar es que no es conmutativo, a diferencia de los dos anteriores la conjunción y la disyunción.
El único caso que resulta falso es cuando el primero es verdadero y el segundo falso.
Por ejemplo, si p es llueve y q es hay nubes entonces:
p → q es; si llueve entonces hay nubes.
También cabe señalar que este viene a ser el operador más importante en el proceso deductivo y que la mayoría de las leyes de inferencia y las propiedades en matemáticas se pueden enunciar utilizando este operador.
La bicondicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; p si y sólo si q, se representa por p ↔ q su tabla de verdad está dada por:
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
Jerarquia de Operadores.
Combinando los operadores anteriores podemos formar nuevas expresiones.
En términos formales la negación de p, deberá ser ( ¬ p), así como la conjunción de p y q sería (p ^ q). Con el uso de paréntesis evitamos la ambiguedad, por ejemplo ¬p ^ q podría significar dos cosas distintas .
Por un lado podría significar: (( ¬ p) ^ q) O también: ( ¬ (p ^ q)).
En la práctica para no usar tantos paréntesis se considera que el operador ¬ tiene jerarquia sobre ^, v, →, ↔. Así ¬ p ^ q significa (( ¬ p)^ q).
En algunos casos se considera ^, v tienen mayor jerarquía que ↔ por lo que p ↔ q v r sería (p ↔ (q v r)) y también que ^ tiene prioridad sobre v, por lo que p ^ q v r sería (p ^ q) v r.
Así por ejemplo, en electrónica, para representar circuitos lógicos se utiliza + en lugar de v y · en lugar de ^.
Por lo que p·q+r es ((p ^ q) v r).
En estos apuntes no se considerará jerarquía en ninguno de los operadores binarios ^, v, →, ↔ por lo que utilizaremos paréntesis. Sólo ¬ tiene prioridad sobre los demás operadores.
Esto nos ahorrá algunos paréntesis, por ejemplo: ((( ¬ p) ^ q) v r) se representa por ( ¬ p ^ q) v r.
Circuitos logicos:
Es un conjunto de llaves que pueden ubicarse en un sistema eléctrico y existe tres posibilidades:
- Pasa corriente eléctrica.
- No pasa corriente eléctrica.
- Corto circuito.
Tal es el caso que pueden ser:
- En paralelo.
- En serie.
El circuito en serie:
es una configuración de conexión en que los bornes o terminales de los dispositivos se conectan secuencialmente, el terminal de salida de un dispositivo se conecta al terminal de entrada del dispositivo siguiente, por ejemplo, el terminal positivo de una pila eléctrica se conecta al terminal negativo de la pila siguiente, con lo cual entre los terminales extremos de la asociación se tiene una diferencia de potencial igual a la suma de la de ambas pilas. Esta conexión de pilas eléctricas en serie da lugar a la formación de una batería eléctrica.
A modo de ejemplo, en la siguiente figura se muestran varios condensadores en serie y el valor del condensador equivalente:
 |
 |
De manera análoga, dos depósitos "A" y "B" de agua conectados en circuito serie implica que "A" deberá situarse de forma tal, que la entrada del agua sea primero a éste, y por gravedad o presión pase al depósito "B", desde donde será drenada por el tubo de salida.
Circuito serie-paralelo. Un circuito en serie es aquél en que los dispositivos o elementos del circuito están dispuestos de tal manera que la totalidad de la corriente pasa a través de cada elemento sin división ni derivación (Figura 3). Cuando en un circuito hay dos o más resistencias en serie, la resistencia total se calcula sumando los valores de dichas resistencias. Si las resistencias están en serie, el valor total de la resistencia del circuito se obtiene mediante la fórmula: (10) Donde: Re: resistencia equivalente de la disposición, ohmios Ri: resistencia individual i, ohmios. En un circuito en paralelo los dispositivos eléctricos, por ejemplo las lámparas incandescentes o las celdas de una batería, están dispuestos de manera que todos los polos, electrodos y terminales positivos (+) se unen en un único conductor, y todos los negativos (-) en otro, de forma que cada unidad se encuentra, en realidad, en una derivación paralela. El valor de dos resistencias iguales en paralelo es igual a la mitad del valor de las resistencias componentes y, en cada caso, el valor de las resistencias en paralelo es menor que el valor de la más pequeña de cada una de las resistencias implicadas. Si las resistencias están en paralelo, el valor total de la resistencia del circuito se obtiene mediante la fórmula: (11) Donde: Re: resistencia equivalente de la disposición, ohmios Ri: resistencia individual i, ohmios
Figura 3. Disposición de bombillas en un circuito en serie y un circuito en paralelo.
El circuito en paralelo:
es una conexión de dispositivos tal, que los bornes o terminales de entrada de todos los dispositivos conectados coincidan entre sí, lo mismo que sus terminales de salida.
Dos depósitos de agua conectados en paralelo tendrán una entrada común que alimentará simultáneamente a ambos, así como una salida común que drenará a ambos a la vez. Las bombillas de iluminación de una casa forman un circuito en paralelo.Por que si una bombilla se apaga, las demás siguen encendidas.
A modo de ejemplo, en la siguiente figura se muestran varios condensadores en paralelo y el valor de su equivalente:
 |
| Ceq = C1 + C2 + ... + Cn |
La configuración contraria es el circuito en serie. En el cual, si una bombilla se apaga todas las demás bombillas se apagaran también.
Tomando de esta manera un efecto domino al afectar las demás terminales.
Para poder ejemplificar el uso de la memoria, primero debemos transformar los números que usaremos a la base binaria, la cual es la que se usa a nivel de circuitos lógicos:
(4AC5)h = (0100101011000101)2
(125)8 = (001010101)2
(100)8 = (001000000)2
(111020)3 = (101100101)2
Figura 1.
Para la elaboración de nuestra memoria lógica de 16 X 8 utilizamos 32 unidades de memoria 2 X 2, tal como se muestra en la figura 1.
Esta memoria tiene cuatro entradas diferentes, las cuales son la del bus de datos (2 bits), el bus de dirección (1 bit), el bus de control (1 bit) y el chip select (1 bit), que se utiliza para desconectar los flip-flop de memoria que no se utilizan en una operación.
Figura 2.
Para poder almacenar datos en esta memoria como si fuera en realidad una sola memoria de 16 X 8 es necesario partir los 8 bits de entrada en 4 entradas de dos bits c/u, ya que las pastillas de memoria física sólo admiten dos bits. Así, los dos bits menos significativos pasan a la primera columna de pastillas físicas, los dos bits siguientes pasan a la segunda columna, los siguientes dos pasan a la tercera columna y los dos bits más significativos pasan a la cuarta columna de pastillas físicas.
Asimismo, el bus de dirección es de cuatro bits en la memoria lógica 16 X 8, mientras que las pastillas físicas 2 X 2 solo admiten 1 bit de dirección. Para solucionar este problema partimos los cuatro bits en dos bloques, uno de tres bits (los más significativos) y uno de un bit. El bloque de tres bits lleva un decodificador, el cual dependiendo de la salida que tenga prende el banco de memoria lógica que dice la entrada. (recordemos que los tres bits representan los ocho bancos de memoria física que hay). Esta salida se utilizará posteriormente por los bancos físicos de 2 X 2 como chip select.
El bit restante es el que indica a los bancos físicos en cuál de las posiciones de memoria será almacenado el dato (si es en la posición 0 o 1 del banco).
Con el bit de control no hay problema; recordemos que éste sólo tiene que indicar si la operación es de lectura (0) o escritura (1).
Ahora explicare los ejemplos con más detalle:
Guardar el dato 0100101011000101 en la posición 001010101: como ésta es una memoria de 8 bits, el dato quedará recortado en 1100 0101; y como la misma es de 16 posiciones, la dirección quedará recortada en 0101:
Primero partimos el dato en cuatro bloques: 11 00 01 01.
La dirección, la partimos en dos bloques de esta manera: 010 y 1.
Al decodificar el 010 tenemos como respuesta que el dato va almacenado en la CK 2 de la memoria lógica 16 X 8, y que a su vez va almacemada el los bits 1.0 y 1.1 de éstos cuatro bancos de memoria física 2 X 2.
El dato previamente partido en cuatro bloques va a entrar en su respectiva pastilla de memoria física 2 X 2.
Figura 3.
Lectura de la posición 001000000, considerando que contiene el valor 101100101: al igual que el problema anterior, la dirección se recorta a 0000; el dato se recorta a 01100101:
Primero partimos la dirección en dos bloques: así tenemos que el banco de memoria a leer es el banco 0, y la posición física de memoria sera la posición 0.
Considerando que el dato almacenado es el 01 00 00 00, el chip select habilitará la compuerta de salida del flip-flop (junto con el resultado negado de las entradas de dirección y control) y deshabilitará la compuerta de entrada del mismo.
Así finalmente el dato podrá ser extraído mediante el bus de datos (el cual es bidireccional) y leído;
Figura 4.
Diseñe a nivel de circuitos lógicos un display de 7 segmentos conforme mostrado en la figura 5:
Figura 5.
El diseño y confección de este display es muy fácil; como podemos ver en la gráfica detallada (figura 6), del teclado numérico se genera un impulso que el búfer de entrada reconoce como código ASCII; dado que en este código los dígitos del 0 al 9 están representados por los números del 48 al 57, o sea del 00110000 al 00111001, podemos descartar los cuatro bits más significativos, dejando como resultado los números en binario del 0 al 9 (0000 al 1001).
Este número se pasa a una especie de decodificador que lo interpreta, y, conectándose las salidas con los respectivos segmentos del display (por medio de una compuerta OR), se obtiene como resultado la salida deseada.
Figura 6.
Diseñe a nivel de circuitos lógicos un sumador completo de 3 bits.
Para este problema teníamos que tomar en cuenta las reglas para la suma binaria, las cuales son:
Suma Salida de Arrastre.
![[[ INSTALAR GIF ]]](http://pics.mediaplazza.com/t_24/64x64/040124_high_voltage.gif "[[ INSTALAR GIF ]]")
Regla 1 0 + 0 = 0
Regla 2 0 + 1 = 1
Regla 3 1 + 0 = 1
Regla 4 1 + 1 = 0 y arrastre 1 = 10
En el circuito sumador que diseñamos tenemos tres entradas y dos salidas, las entradas corresponden a las dos variables que utilizamos y la entrada de arrastre (la llamamos carry in), y las salidas corresponden a la suma de columnas y la salida de arrastre (la cual denominamos carry out).
Para realizar la suma de las variables A y B utilizamos una función XOR (or exclusivo) la cual dará un resultado de 1 cuando las variables tengan distintos valores. Para la suma de arrastre consideramos una función AND.
La tabla de la verdad para nuestro sumador:
Entradas | Salidas | |||
A | B | Carry In | Carry Out | |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
A + B + Carry In | Suma | Carry Out | ||
La figura 7 muestra el circuito lógico sumador de tres bits que diseñamos.
Figura 7.
Para comprobar si nuestro sumador funciona, sumaremos estas dos cantidades binarias (001)2 y (111)2 así:
1 1 1
( 0 0 1 )2 que equivale a ( 1 )10
( 1 1 1 )2 que equivale a ( 7 )10
![[[ INSTALAR GIF ]]](http://pics.mediaplazza.com/t_24/64x64/pet24.gif "[[ INSTALAR GIF ]]")
1 0 0 0 que equivale a ( 8 )10 o sea el resultado de
sumar (1 )10 y ( 7 ) 10 que es lo mismo que
sumar ( 001 )2 y ( 111 )2.
Ahora lo plantearemos en forma gráfica en el sumador de la
figura 8.
- El número de columnas en una tabla de verdad depende de cuantas entradas hay+ 1 (la columna de la salida), el número de filas representa la cantidad de combinaciones en las entradas.
Número de combinaciones = 2n, donde n es el número de columnas de la tabla de verdad (menos la columna de salida).
Ejemplo: en la siguiente tabla hay 3 columnas de entrada, entonces habrán: 23 = 8 combinaciones (8 filas).
Un circuito con 3 interruptores de entrada (con estados binarios "0" o "1"), tendrá 8 posibles combinaciones. Siendo el resultado (la columna salida) determinado por el estado de los interruptores de entrada.
Tabla de verdad
Switch 1
Switch 2
Switch 3
Salida
0
0
0
?
0
0
1
?
0
1
0
?
0
1
1
?
1
0
0
?
1
0
1
?
1
1
0
?
1
1
1
?
Los circuitos lógicos son básicamente un arreglo de interruptores, conocidos como "compuertas lógicas" (compuertas AND, NAND, OR, NOR, NOT, etc) Cada compuerta lógica tiene su tabla de verdad. Y, si pudiéramos ver en mas detalle la construcción de éstas, veríamos que es un circuito comprendido por transistores, resistencias, diodos, etc. conectados de manera que se obtienen salidas específicas para entradas específicas.
La utilización extendida de las compuertas lógicas, simplifica el diseño y análisis de circuitos complejos. La tecnología moderna actual permite la construcción de circuitos integrados (IC´s) que se componen de miles (o millones) de compuertas lógicas.
Tabla de verdad | |
Columna(s) de entrada | Columna de salida |
Entrada (interruptor) | Salida (lámpara) |
Abierto | Apagado |
Cerrado | Encendido |
Vamos a ejemplificar la materialización del cálculo proposicional, empleando el más antiguo de los dispositivos que ya fue utilizado para fines lógicos por nuestro sabio ingeniero Leonardo Torres Quevedo, a finales del siglo XIX, al construir sus máquinas aritméticas y su jugador de ajedréz.
Un circuito es un sistema físico compuesto por varios cables conductores conectados entre si por conectores (o circuito lógico elemental o atómico) de diferente tipo.
El conector más elemental, es el que corresponde con la identidad (vease figura 2), compuesto por una fuente de energía , y por un elemento biestable, (en nuestro caso un relais), de forma que cuando pasa corriente por el cable 
actúa el electroimán haciendo bajar la lengueta, que hace contacto en el borne, dejando pasar la corriente por el cable 
, y no pasará corriente por el cable en el caso contrario. Si la proposición 
es pasa corriente por el cable " y la proposición 
es pasa corriente por el cable ", vemos que será verdadera cuando sea verdadera y falsa cuando lo sea . El circuito anterior se comporta como indica la siguiente tabla de verdad:
 |  |
 | |
|---|---|
 | |
De forma análoga se pueden construir conectores que respondan a los operadores de negación (vease figura 2), disyunción (vease figura 3) y conjunción (vease figura 3), cuyas tablas de verdad se indican a continuación:
| |
| |
|---|---|
| |
| |  |
| | |
| | |
| | |
| | |
De manera análoga a como se forman proposiciones compuestas a partir de otras proposiciones, se pueden construir los circuitos lógicos compuestos correspondientes a proposiciones compuestas, a partir de los circuitos lógicos elementales.
Por composición sucesiva se han ido construyendo circuitos cada vez mas complejos hasta llegar a los modernos microprocesadores y otros dispositivos electrónicos componentes de los actuales ordenadores materializados en los microchips que contienen o integran millones de componentes biestables (conectores).
Hemos empleado en nuestra exposición para describir los circuitos elementales un dispositivo electromecánico que fue el precursor de los modernos circuitos electrónicos utilizados en los ordenadores.
El ingeniero español Torres Quevedo fue el primero en utilizar relais para construir máquinas algebraicas automáticas y otros dispositivos automáticos, como su jugador de ajedrez, superando con ello al matemático inglés Babagge, precursor de los actuales ordenadores, pero quien no pudo terminar de construir su maquina por solo disponer para ello de la tecnología mecánica, cuyas componentes eran ruedas y engranajes.
Desde el origen de las computadoras electrónicas, ha habido una sucesión de distintos dispositivos biestables con los que se han construido los conectores lógicos elementales y, a partir de ellos, los circuitos mas complejos componentes de aquellas.
En cada época las caracteristicas de los dispositivos usados para construir las nuevas maquinas automáticas, han sido uno de los rasgos empleados para definir las distintas generaciones de ordenadores; esta sucesión de dispositivos pasó del relais a la válvula de radio, y de esta al transistor, para llegar despues a los actuales circuitos integrados cada vez de mayor densidad.
Esta sucesión todavia no ha terminado.
Como ya hemos indicado, fue el matemático inglés George Boole el iniciador de la lógica, o cálculo, de proposiciones, pero fue el matemático americano Claude Shannon, quien aplicó el álgebra de Boole al diseño de circuitos de conmutacion utilizados en las centrales telefónicas automáticas.
Al matemático húngaro John von Neumann, se debe la actual estructura de los ordenadores.
Alumno:
Juan carlos Orué Rojas.
Colegio:
Libertador Mariscal Castilla.
Grado: Sección:
4to "C"
Profesor:
Edilberto Atencio Grijalva.
